1학년의 꿈

1. 개요2. 설명

2.1. 성립되는 예외적 조건

3. 여담

1. 개요 [편집]

1학년의 꿈(Freshman's Dream)은 곱셈 공식을 쓸 때 가장 자주 하는 실수를 이론적으로 정리한 것이다.

$(x+y)^n = x^n+y^n$ 를 만족하는 임의의 실수 $n, x, y$ 는 자명한 조건인 $n =1 \vee x+y =0 \wedge n \equiv 1 \bmod 2 \vee xy =0$ [1]를 만족하는 수 이외에는 없다.

2. 설명 [편집]

1과 가까운 두 수인 0, 2로 예를 들면

$(x+y)^0 \neq x^0+y^0 \Leftrightarrow 1 \neq 2$
$(x+y)^2 \neq x^2+y^2 \Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 \neq x^2+y^2$

이외에도 초등학교 수학에서 분모가 다른 분수의 덧셈을 배울 때(통분)나, 중학교 수학에서 제곱근을 배울 때 다음 관계를 시행착오로써 알게 되는 경우가 많은데 결국 같은 맥락이다.

$\dfrac{1}{x+y} \neq \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \Leftrightarrow (x+y)^{-1} \neq x^{-1} + y^{-1}$
$\sqrt{x+y} \neq \sqrt{x}+\sqrt{y} \Leftrightarrow (x+y)^{1/2} \neq x^{1/2} + y^{1/2}$

이것을 모든 실수 [2]로 확장해서 자명한 해인

n =1

혹은

x+y=0,\,xy=0

이 성립하는 수 이외에는 없음이 증명되어 있다.

그럼 복소수는 어떨까? 드 무아브르 공식의 존재로 안 된다. 복소수 지수는

e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

로 정의되는데,

\left(e^{i\theta}\right)^n = \cos n \theta + i \sin n\theta \neq [\cos \theta]^n + i [\sin \theta]^n

이므로 복소수에서조차 일반적으로 등식이 성립되지 않는다.

2.1. 성립되는 예외적 조건 [편집]

충격적이게도 자명하지 않은 조건에서 이게 성립하는 경우가 있다.

p \in \mathbb{P}

인

p

가 표수[3]인 체에서

p

제곱을 하는 경우에 성립한다. 이항정리에 의하여

\displaystyle \sum_{r=0}^{p}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}

이 성립하는데, 이 때,

\displaystyle\binom{p}{r}

는 항상 자연수이다. 그런데,

\displaystyle\binom{p}{r}=\frac{p!}{r!(p-r)!}

이고, 위의 우변에서

0<r<p

이면, 분모는 소수

p

보다 작은 수들의 곱이므로 인수로

p

를 가질 수 없다. 그래서,

\displaystyle\binom{p}{r}

은

p

의 배수가 되어서, 어떤 자연수

m

에 대하여

\displaystyle\binom{p}{r}=pm=(1_{F}+\cdots+1_{F})m=0_{F}\cdot m=0_{F}

이 성립한다. 정리하면, 체

F

의 표수가

p>0

이면,

\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^{p}&=a^{p}+\displaystyle\sum_{r=1}^{p-1}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}+b^{p}\\&=a^{p}+\left(\sum_{r=1}^{p-1}0_{F}\cdot a^{r}b^{p-r}\right)+b^{p}=a^{p}+b^{p} \end{aligned}

가 성립한다.

3. 여담 [편집]

자매품으로 해석학 및 미적분학 계열의 2학년의 꿈이 있다. 참고로 2학년의 꿈은 옳다. 아쉽게도 3학년의 꿈은 없다.

[1] 중자는

x

와

y

가 서로 반수인 경우, 후자는

x,y

중 하나라도 0인 경우. 중자의 경우는

n

이 홀수일 경우 성립한다.[2] 음수의 경우 어차피 양수로 한 식을 역수로 취한 거라 양수의 예만 증명하면 자동적으로 증명된다. 예외적으로 위에 나온

n=-1

같은 경우는 따로 증명해야 하지만.[3] 체

F

에 대하여,

F

의 곱셈의 항등원

1_{F}

을 유한번 더했을 경우, 덧셈의 항등원

0_{F}

이 나온다면, 더해진

1_{F}

의 최소 개수를

F

의 표수(characteristic)라고 한다.

1_{F}

을 아무리 더해도

0_{F}

이 나오지 않으면,

F

의 표수를 0으로 정의한다.

F

의 표수가

p>0

이면

p

는 소수임이 알려져 있다. 참고로 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 같은 '일반적'인 수 체계는 무한집합이므로 이들의 표수는 0이다.